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TU Berlin

Inhalt des Dokuments

Theoretische Physik VI (Vertiefung): "Statistische Physik II"

Lehrveranstaltung 3233 L 420
Prof. Dr. Harald Engel
Dipl. Phys. Jakob Löber

Wahlpflichtveranstaltung oder Vertiefungsfach für Dipl.-Physik-Studierende und Master-Studierende und Studierende anderer naturwissenschaftlicher Studiengänge.

Der Besuch dieser Lehrveranstaltung (VL+UE) entspricht 12 ECTS-Punkten.

Die Vorlesung

Inhalt:
Die Vorlesung behandelt Konzepte aus der Statistischen Physik des Nichtgleichgewichts.

Im Einzelnen:

Statistische Beschreibung der spontanen Ausbildung makroskopischer Strukturen fern vom thermodynamischen Gleichgewicht mit Methoden der stochastischen Theorie nichtlinearer Prozesse (verallgemeinerte Brownsche Bewegung, Langevin-, Master- und Fokker-Planck-Gleichung, Ordnungsparameterkonzept) an Beispielen aus der Physik, Biologie und Chemie (Musterbildung in Flüssigkeiten im Ergebnis hydrodynamischer Instabilitäten, nichtlineare Wellen in biologischen und chemisch reagierenden Systemen, Turing-Strukturen).

Zeit und Ort:
Vorlesung (ab 11.04.2012):
Mittwoch, 12:00-14:00 Uhr, ER 164
Donnerstag. 14:00-16:00 Uhr, EW 202 

Übung (ab 18.04.2012):

Mittwoch, 10:00-12:00, EW 731

Scheinkriterien

  • Mindestens 50% aller Übungspunkte (Abgabe in 2er Gruppen)
  • Regelmäßige und aktive Teilnahme an der Übung
  • Bearbeitung und Vorstellung eines Projektes (Projektvorstellung in der letzten Vorlesungswoche)

Literatur

L. Arnold, Stochastische Differentialgleichungen – Theorie und Anwendungen, Oldenbourg, München, Wien, 1973.

C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, Springer, Berlin, 1983, 1985.

H. Haken, Synergetics. Introduction and Advanced Topics, Springer, 2004.

W. Horsthemke, R. Lefever, Noise-Induced Transitions. Theory and Applications in Physics, Chemistry, and Biology. Springer, 1984.

J. L. Klimontovich, Statistical Physics. Harwood Academic Publishers, 1986.

A. S. Mikhailov, Foundations of Synergetics I. Distributed Active Systems. Springer, 1990.

R.L. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise, Vols. I and II, Gordon and Breach, 1963.

Sprechzeiten

Prof. Dr. Harald Engel: Mittwoch, 14:30-16:00, EW 738
Dipl. Phys. Jakob Löber: Montag, 14:30-16:00, EW 737

Kontakte

Prof. Dr. Harald Engel: harald.engel(at)tu-berlin.de
Dipl. Phys. Jakob Löber: jakob(at)physik.tu-berlin.de

Übungszettel

Übungen
Nr.
Download
Ausgabe
Abgabe
Inhalt
Bemerkung
1
PDF (PDF, 114,2 KB)
18.04.12
25.04.12
Gibbs-Entropie, Momentenerzeugende
2
PDF (PDF, 112,9 KB)
25.04.12
02.05.12
H-Theorem, Lösung der Fokker-Planck-Gleichung
3
PDF (PDF, 122,7 KB)
02.05.12
09.05.12
Logistisches Wachstum, Fokker-Planck-Operator
4
PDF (PDF, 137,1 KB)
09.05.12
16.05.12
Stochastische Resonanz
5
PDF (PDF, 138,2 KB)
16.05.12
23.05.12
Geneigtes Ratschenpotential, Verrauschtes Ratschenpotential
6
PDF (PDF, 152,6 KB)
23.05.12
06.06.12
Farbiges Rauschen
7
PDF (PDF, 120,7 KB)
30.05.12
06.06.12
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Pest
8
PDF (PDF, 159,1 KB)
06.06.12
13.06.12
Poissonverteilung und Massenwirkungsgesetz,
Entropieproduktion für ein Brownschen Teilchen
9
PDF (PDF, 124,5 KB)
13.06.12
27.06.12
Details zur Thermokonvektion, Lineare Stabilitätsanalyse des Lorenz-Systems

Sonstiges

Zusätzliches
Mathematica Notebook zu Aufgabe 2
NB (NB, 30,5 KB)
Mathematica Notebook zu Aufgabe 4
NB (NB, 34,1 KB)
Mathematica Notebook zur Stochastischen Resonanz
NB (NB, 1,5 MB)

Projekte Übersicht

Projekte Übersicht
1
Caldeira-Leggett Modell und Mori-Zwanzig Theorie
2
BBGKY-Hierarchie, Boltzmann Gleichung und Chapman-Enskog-Verfahren
3
Theorie der linearen Antwort, Fluktuations-Dissipations-Theorem, Green-Kubo Relationen
4
Fluktuationstheorem, Jarzynski Gleichung, Stochastische  Thermodynamik und Effizienz bei maximaler Leistung
5
Ableitung der Chemischen Mastergleichung und Zusammenhang mit chemischen Ratengleichungen
6
Thermodynamische Stabilitätstheorie, Lineare irreversible Thermodynamik, lokales thermodynamisches Gleichgewicht, Prinzip der minimalen Entropieproduktion und Prinzip der maximalen Entropieproduktion
7
Wachstum einer Stadt simuliert mit Reaktions-Diffusions Gleichungen
8
Stochastische Resonanz
9
Brownsche Motoren
10
Turing Instabilitäten
11
Chaos in Nichtgleichgewichtssystemen
12
Reaktions-Diffusions-Systeme: Musterbildung, Räuber-Beute-Modelle, Modelle für Epidemien, ...
13
Maxwellscher Dämon, Landauers Principle, Thermodynamics and Information, Reversible Computing, ...
14
Frontdynamik
15
Eigene Vorschläge

1. Caldeira-Leggett Modell und Mori-Zwanzig Theorie

Die Herleitung einer verallgemeinerten Langevin-Gleichung kann
anhand des exakt lösbaren klassischen Caldeira-Leggett Modells
gezeigt werden. Dabei werden das Bad und das System als
harmonische Oszillatoren angenommen. Die Mori-Zwanzig-Theorie
verallgemeinert diese Ableitung für beliebige Bäder.

Quellen: 

 

 

2. BBGKY-Hierarchie, Boltzmann Gleichung und Chapman-Enskog-Verfahren

Die BBGKY-Hierarchie leitet eine Bewegungsgleichung für die Phasenraumdichte ρn für n Teilchen aus der Liouville-Gleichung für die Phasenraumdichte ρN eines Hamiltonschen Systems aus N Teilchen her. Es zeigt sich, dass dabei eine Hierarchie gekoppelter Gleichungen auftritt, die die Phasenraumdichte ρn für n Teilchen mit jener für n+1 Teilchen koppelt. Unter der Annahme kleiner Teilchendichte sowie weiterer Annahmen kann daraus die Boltzmann-Gleichung, also eine Bewegungsgleichung für die Einteilchenverteilungsfunktion ρ1 abgeleitet werden. Lösungen der Boltzmann-Gleichung erfüllen ein H-Theorem und können für die Beschreibung irreversibler Prozesse benutzt werden. Aus der Boltzmann-Gleichung lassen sich
Transportkoeffizienten wie z. B. der Diffusionskoeffizient D sowie die vollen hydrodynamischen Navier-Stokes Gleichungen mithilfe des Chapman-Enskog-Verfahrens ableiten.

Quellen:

 

 

3. Theorie der linearen Antwort, Fluktuations-Dissipations-Theorem, Green-Kubo Relationen

Ausgehend von einem Hamiltonschen System wird
störungstheoretisch die Antwort eines Systems auf eine äußere
Kraft berechnet. Die verallgemeinerte Suszeptibilität Χ wird dabei durch die Eigenschaften des ungestörten Systems und der
Störung ausgedrückt. Das erlaubt die Ableitung der
Einsteinrelation und anderer Transportkoeffzienten sowie den
Beweis des quantenmechanischen und klassischen
Fluktuations-Dissipations-Theorems.

Quellen:

 

 

4. Fluktuationstheorem, Jarzynski Gleichung, Stochastische Thermodynamik und Effizienz bei maximaler Leistung

Ausgehend von stochastischen Gleichungen (Langevin-,
Fokker-Planck-, Mastergleichungen) und ihrer thermodynamischen
Interpretation kann das Fluktuationstheorem abgeleitet werden,
welches auch fernab vom thermodynamischen Gleichgewicht gültig
ist. Unter der Bedingung reversibler mikroskopischer Gleichungen
läßt sich auch ein Fluktuationstheorem für die Entropieproduktion
und somit der 2. Hauptsatz der Thermodynamik ableiten.
Ebenfalls im Rahmen stochastischer Gleichungen läßt sich der
Wirkungsgrad einer realistischen Wärmekraftmaschine bestimmen, der
sich im Grenzfall unendlich langsamer Prozessführung
(quasistatische Zustandsänderung) auf den bekannten
Carnot-Wirkungsgrad einer idealen Wärmekraftmaschine reduziert,
deren Leistung im quasistatischen Limes 0 ist.

Quellen:

5. Ableitung der Chemischen Mastergleichung und Zusammenhang mit chemischen Ratengleichungen

Die chemische Mastergleichung läßt sich unter gewissen Annahmen
rigoros aus mikroskopischen Gleichungen ableiten. Das Lösen der
chemischen Mastergleichung für große Reaktionsnetzwerke ist aber
weder analytisch noch numerisch möglich. Deswegen wird die
Mastergleichung vereinfacht zu einer Chemischen
Langevin-Gleichung. Im Grenzfall verschwindender Rauschintensität
reduzieren diese sich zu oftmals nichtlinearen Ratengleichungen. 

Quellen:

6. Thermodynamische Stabilitätstheorie, Lineare irreversible Thermodynamik, lokales thermodynamisches Gleichgewicht, Prinzip der minimalen Entropieproduktion und Prinzip der maximalen Entropieproduktion

Quellen:

  • Ilya Prigogine: "Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes"
  • I. Prigogine, P. Glanssdorf: “Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations”
  • L. Reichl: “A Modern Course in Statistical Physics”

7. Wachstum einer Stadt simuliert mit Reaktions-Diffusions Gleichungen

8. Stochastische Resonanz

Stochastische Resonanz wurde in der Vorlesung vorgestellt. Es
gibt viele Beispiele in der Natur, in denen Stochastische
Resonanz experimentell nachgewiesen wurde.

In anregbaren Systemen kann selbstinduizerte Stochastische Resonanz auftreten, so daß im verrauschten System oszillatorische Zustände auftreten, während hingegen das deterministische System im homogenen Zustand
verbleibt.

 Quellen:

 

 

9. Brownsche Motoren

Bownsche Motoren wurden in der Vorlesung vorgestellt, aber nur
wenige Ratschenmechanismen konnten behandelt werden. Die
möglichen Arten von Ratschen lassen sich klassifizieren, können
aber meist nicht mehr analytisch exakt gelöst werden, sondern
müssen störungstheoretisch behandelt werden. Viele Beispiele für
Brownsche Motoren lassen sich in der Natur, insbesondere in
biologischen Systemen, finden.

Quellen:

10. Turing Instabilitäten


Quellen:

  • J. D. Murray: "Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications"

11. Chaos in Nichtgleichgewichtssystemen

Dieser mathematische Ansatz versucht, makroskopische Irreversibilität direkt aus den Eigenschaften Dynamischer Systeme, bestehend aus vielen Teilchen, zu verstehen. Die ist für den Fall eines allgemeinen Hamiltonschen Systems sehr schwer und unvollendet. Deswegen benutzt man abstrakte mathematische Modelle wie Billiards und diskrete Abbildungen wie den Bernoulli-Shift und die Baker-Map, um die wesentlichen Effekte wie Annäherung eines Nichtgleichgewichtssystems an das Gleichgewicht, zu verstehen. Begriffe wie Ergodizität und fraktale (seltsame) Attraktoren spielen dabei eine Rolle.

Quellen:

  • J. R. Dorfman: “An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics”
  • L. Reichl: "The Transition to Chaos in Conservative Systems"

12. Reaktions-Diffusions-Systeme: Musterbildung, Räuber-Beute-Modelle, Modelle für Epidemien,...

Quellen:

 

 

13. Maxwellscher Dämon, Landauers Principle, Thermodynamics and Information, Reversible Computing, ...

14. Frontdynamik

In einkomponentigen Reaktions-Diffusions-Systemen können 2
verschiedene Arten von Wellenlösungen, also Lösungen mit einem in
einem mitbewegten Koordinatensystem stationären Pulsprofil,
auftreten. Eine Art von Fronten verbindet 2 stabile Fixpunkte des
Systems, die zweite Art verbindet einen stabilen mit einem
instabilen Fixpunkt des Systems. Obwohl beide Arten sich auf den
ersten Blick kaum voneinander zu unterscheiden scheinen,
verhalten sie sich mathematisch sehr unterschiedlich, mit
weitreichenden Konsequenzen für die Musterbildung in räumlich
ein- und mehrdimensionalen Systemen. Experimentell können beide
Arten von Frontlösungen beobachtet werden.

Quellen:

15. Eigene Vorschläge sind gerne willkommen...

Termine für Vorträge

Termine für Vorträge
Mi 04.07.
10:00-10:30
Simon Nellen, Lara Sophie Hoppe
10:30-11:00
11:00-11:45
Vogel, Martyanov, Grecenkovs
Do 05.07.
14:00-14:30
F. Böhme, S. Seidenbecher
14:30-15:00
R. Rothfischer, V. Swedowski
15:00-15:30
J. Pardowitz, J. Friedrich
15:30-15:45
M. Schmatulla
Mi
11.07.
10:00-10:30
Markus Osenberg
10:30-11:00
van Treeck et al.
11:00-11:30
Gretchenko et al.
Mi
11.07.
12:00-13:00
Fengler, Ulmer, Reinhard, Funk
13:00-13:30
Kulawiak et al.
Do
12.07.
14:00-14:30
Helbling et al.
14:30-14:45
Thess
14:45-15:00
Schaar
15:00-15:45
Sonja Molnos, Andre Röhm, Maren Schiersch

Projekte

Vorträge und Ausarbeitungen
Projekttitel
Vorträge/Ausarbeitungen
Projektteilnehmer
Lineare Antwort, Green-Kubo,
Fluktuations-Dissipations Theorem
Vortrag (PDF, 490,2 KB)
Franziska Böhme, Sophie Seidenbecher
Turing Instabilität
Vortrag (PDF, 866,8 KB)
Jan Friedrich, Johannes Pardowitz
Spatial Patterning of Teeth
Primordia in the Alligator
Vortrag (PDF, 3,1 MB)
Ausarbeitung (PDF, 2,8 MB)
Dirk Kulawiak, Franziska Hanke


Statistische Modelle für
Tumorwachstum
Vortrag (PDF, 1,2 MB)
Jurijs Grecenkovs, Slava Martyanov, Dominic Vogel
Fronten von
Reaktions-Diffusions-Gleichungen
Vortrag (PDF, 765,5 KB)
Markus Osenberg, Magnus Happach
Statistical Mechanics of Nonequilibrium Systems
Survey of Applications to Urban Systems
Ausarbeitung (PDF, 1,5 MB)
Maximilian Thess
Caldeira-Leggett Modell und Mori-Zwanzig
Theorie
Vortrag (PDF, 395,1 KB)
Veronika Szwedowski, Ramona Rothfischer
Brownsche Motoren
Vortrag (PDF, 793,7 KB)
Ausarbeitung (PDF, 2,2 MB)
Marko Tomic, David van Treeck
Stochastische Resonanz
Vortrag (PDF, 4,1 MB)
Lara Sophie Hoppe, Simon Nellen
Maxwellscher Dämon, Landauers Principle,
Thermodynamik und Information
Vortrag (PDF, 1,2 MB)
Ausarbeitung (PDF, 1,8 MB)
Sonja Molnos, André Röhm, Maren Schiersch

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